回归中的相关度和决定系数

Python,机器学习 2017-12-25

起步

训练集中可能是有若干维度的特征。但有时并不是所有特征都是有用的,有的特征其实和结果并没有关系。因此需要一个能衡量自变量和因变量之间的相关度。

皮尔逊相关系数

皮尔逊相关系数( Pearson correlation coefficient),是用于度量两个变量 X 和 Y 之间的相关(线性相关),其值介于 -1 与 1 之间。

在说皮尔逊相关系数之前,要先理解协方差( Covariance ) ,协方差是一个反映两个随机变量相关程度的指标,如果一个变量跟随着另一个变量同时变大或者变小,那么这两个变量的协方差就是正值,反之相反,公式如下:

Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n - 1}

皮尔逊相关系数的公式如下:

r_{xy} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}

Var表示方差,相关度越高,皮尔逊相关系数其值趋于 1 或 -1 (趋于1表示它们呈正相关, 趋于 -1 表示它们呈负相关);如果相关系数等于0,表明它们之间不存在线性相关关系。

e31afcd8a6fa446a5b5b0bdd87606f1d_r.jpg

对应的python代码:

import math
import numpy as np

def computeCorrelation(x: list, y: list) -> float:
    x_mean = np.mean(x)
    y_mean = np.mean(y)
    SSR = 0
    var_x = 0  # x的方差
    var_y = 0  # y的方差
    for xi, yi in zip(x, y):
        diff_x = xi - x_mean
        diff_y = yi - y_mean
        SSR += diff_x * diff_y
        var_x += diff_x ** 2
        var_y += diff_y ** 2
    SST = math.sqrt(var_x * var_y)
    return  SSR / SST

决定系数

决定系数即 R 平方值,反应因变量的全部变异能通过回归关系被自变量解释的比例。如R平方为0.8,则表示回归关系可以解释因变量80%的变异。换句话说,如果我们能控制自变量不变,则因变量的变异程度会减少 80%。 在简单线性回归中,绝对系数可以是 R^2 = r * r。而更通用的是:

R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{\sum(\hat{y_i} - \bar{y})^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}

SST 其实是两部分组成的,一部分是模型可预测的,一部分是变异的SSError无法用模型解释的。它们之间的计算公式是:

\begin{align*}
SS_T &= \sum_i(y_i - \bar{y})^2 \\
SS_R &= \sum_i(\hat{y_i} - \bar{y})^2 \\
SS_E &= \sum_i(y_i - \hat{y_i})^2 \\
\end{align*}

对应的 python 代码,因为需要创建模型来进行预测,这边使用 sklearn 中的线性回归模型:

from sklearn import linear_model

def polyfit(x, y):
    linear = linear_model.LinearRegression()
    linear.fit(x, y)
    y_hat = linear.predict(x)
    y_mean = np.mean(y)
    SSR = 0
    SST = 0
    for i in range(len(y)):
        SSR += (y_hat[i] - y_mean) ** 2
        SST += (y[i] - y_mean) ** 2
    return SSR / SST

测试:

train_x = [1, 3, 8, 7, 9]
train_y = [10, 12, 24, 21, 34]

print(computeCorrelation(train_x, train_y)) # output: 0.940310076545

train_x_2d = [[x] for x in train_x] # 通用的方式,训练集至少是二维的
print(polyfit(train_x_2d, train_y))  # output: 0.884183040052

修正决定系数

R 平方也有其局限性,随着自变量数目的增加,R 方是会增加的,这部分的定理是:

e10d524397aa93d5f6d090afcd50b127_r.jpg

证明过程:

06b908e902e3344f13a605a68653fc95_r.jpg

0ed420564d4c260fd50968890e4ec945_r.jpg

调整后的R 方表示为:

\bar{R^2} = 1 - (1 - R^2)\frac{n-1}{n-p-1}

其中,n 表示样本大小,p 表示模型中解释变量的总数(不包括常数)。

附录

本次代码:https://github.com/hongweipeng/learn_ai_example/blob/master/regression_relativity.py


本文由 hongweipeng 创作,采用 知识共享署名 3.0,可自由转载、引用,但需署名作者且注明文章出处。

如果对您有用,您的支持将鼓励我继续创作!